在中国，收养登记是依据《中华人民共和国收养法》和《中华人民共和国民法典》来进行的。收养登记的目的是为了确保收养关系的合法性和保护收养关系中各方，特别是被收养儿童的合法权益。

收养登记的流程通常包括以下几个步骤：

1. 提交申请：有意向的收养人向县级以上人民政府民政部门提交收养登记申请。
2. 审核材料：民政部门对收养人提交的申请材料进行审核，以确定收养人是否符合法定的收养条件。
3. 社会调查：民政部门或其委托的机构对收养人进行家庭情况和社会关系调查，以评估收养人是否适合收养儿童。
4. 审批决定：民政部门根据审核和社会调查的结果，作出是否批准收养的决定。
5. 登记：如果收养申请被批准，收养人和被收养人的信息将被记录在案，并发放收养登记证书。

关于民政部门审核批复的时间，法律并没有具体规定审核和批复的确切时间。但是，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百零五条的规定，民政部门应当自收到收养登记申请之日起三十日内进行审查。如果审查后认为不符合收养条件，应当书面通知申请人不予登记，并说明理由。如果审查后认为符合收养条件，应当予以登记，并发放收养登记证书。

在实际操作中，民政部门可能会因为工作量大、需要进行的社会调查复杂等原因，导致审核时间超出三十日。因此，实际审核时间可能会比法律规定的三十日更长。收养申请人应当耐心等待民政部门的审查结果，并保持与民政部门的沟通，了解审核进度。

相关案例： 假设有一对夫妇提交了收养登记申请，民政部门在收到申请后，按照法定程序进行了材料审核和社会调查。在调查过程中，民政部门发现该夫妇所在社区对他们的评价较高，且他们的经济条件、居住环境和教育背景都符合收养条件。因此，民政部门在审核期限内完成了审查，并批准了他们的收养申请，发放了收养登记证书。

这个案例说明了收养登记申请的顺利过程，同时也强调了民政部门在规定时间内完成审查的重要性。如果民政部门在审查过程中发现问题，例如收养人的条件不符合法律规定，或者社会调查结果不理想，那么收养申请可能会被拒绝，收养人需要根据民政部门提供的理由进行整改，并重新提交申请。